Algebra lineare

L'algebra lineare, disciplina che si occupa dei sistemi di equazioni lineari (cioè di 1° grado), porta direttamente alla considerazione delle matrici e dei vettori. La sua importanza è andata sempre più aumentando a causa delle sue svariate applicazioni, dagli ambiti teorici quali la costruzione vettoriale della Geometria o l’Analisi Numerica, a quelli pratici in Informatica, Fisica, Ingegneria, Economia etc. Basti pensare che quando si digitano una o più parole su un motore di ricerca vengono generate delle matrici che non sono visualizzate in quanto tali ma vengono elaborate dando luogo alla schermata di risposta. Scopo di questo libro e? fornire agli studenti i fondamenti dell’Algebra Lineare, insistendo sulla sua applicazione pratica pur senza rinunciare a un’impostazione rigorosa e coerente della teoria. Il contenuto si articola in tre capitoli, nel primo dei quali si introduce il calcolo matriciale ed il suo uso nella risoluzione dei sistemi lineari. Nel secondo capitolo si studiano gli spazi vettoriali con particolare riferimento agli spazi R n e agli spazi di vettori geometrici; una forte attenzione è dedicata all’introduzione delle coordinate, al prodotto scalare e alle proiezioni ortogonali. Lo studio delle applicazioni lineari e degli operatori viene sviluppato nel terzo capitolo: il problema della diagonalizzazione conduce alla considerazione degli autovalori ed autovettori di un operatore e trova il suo coronamento nel teorema spettrale per gli operatori simmetrici. Conclude l’opera un’appendice sui numeri complessi. Ciascun argomento e? corredato di numerosi esempi ed esercizi.

MANLIO BORDONI, professore associato (in quiescenza) della Facoltà di Ingegneria dell’Universita? “La Sapienza” di Roma, ha condotto le sue ricerche soprattutto nell’ambito della Geometria Spettrale e Spinoriale, studiando in particolare gli operatori di Laplace, di Dirac e del calore. Ha svolto corsi di Geometria, Geometria Differenziale, Geometria Superiore, Topologia Algebrica, Analisi Matematica, Istituzioni di Matematica. Ha inoltre svolto numerosi corsi di dottorato, post-doc e per scuole di specializzazione in Italia e all’estero.Sistemi lineari e matrici
- Principali insiemi numerici
- Equazioni algebriche
- Sistemi lineari in due incognite
- Dai sistemi lineari alle matrici
- Generalità sulle matrici
- Matrici quadrate
- Moltiplicazione tra matrici
- Matrici unità - Matrici invertibili
- Determinanti
- Proprietà dei determinanti
- Inversa di una matrice invertibile
- Risoluzione dei sistemi lineari:il teorema di Cramer
- Rango di una matrice
- Dipendenza e indipendenza lineare di colonne (righe)
- Il Teorema di Rouché-Capelli
- Il metodo di Gauss-Jordan.Spazi vettoriali
- Gli spazi Rn e gli spazi dei vettori geometrici
- Sottospazi di uno spazio vettoriale. Insiemi di generatori
- Dipendenza e indipendenza lineare
- Basi di uno spazio vettoriale. Coordinate di vettore
- Cambiamenti di base. Orientazioni di Rn
- Sottospazi di Rn
- Intersezione e somma di sottospazi. Somme dirette
- Prodotto scalare
- Basi ortonormali
- Complemento ortogonale. Proiezioni ortogonali
- Cambiamenti di base ortonormale. Matrici ortogonali
Applicazioni lineari. Operatori
- Applicazioni lineari
- Nucleo ed immagine
- Operazioni sulle applicazioni lineari
- Operatori. Matrici simili
- Autovalori ed autovettori di un operatore
- Calcolo degli autovalori e degli autovettori
- Operatori simmetrici
- Il teorema spettrale (nel caso reale)
- Operatori ortogonali. Isometrie

A I numeri complessi 199
A.1 Il campo dei numeri complessi
A.2 Rappresentazione geometrica e trigonometrica dei
numeri complessi
A.3 Potenze dei numeri complessi
A.4 Radici dei numeri complessi