Esistenza e regolarità di soluzioni di alcuni problemi ellittici

Queste note nascono da lezioni (per il corso di laurea o per il dottorato in Matematica) del primo autore all'Università La Sapienza di Roma. Si è cercato di illustrare risultati classici e meno classici relativi a problemi di Dirichlet per equazioni ellittiche. L'obiettivo è infatti fornire una base per tali problematiche, anche a chi voglia avvicinarsi alla ricerca in questo campo. Il corso che gli autori hanno costruito è autocontenuto. I risultati di analisi reale, analisi funzionale e spazi di Sobolev che vengono usati possono essere tutti trovati nel libro Analyse fonctionnelle di Haïm Brezis. Per comodità del lettore i principali prerequisiti sono citati nelle appendici. Queste note possono essere divise in due parti. La prima è dedicata a risultati classici di esistenza e regolarità di soluzioni di problemi ellittici in forma di divergenza. Nella prima parte viene trattata inoltre la teoria spettrale degli operatori lineari e la regolarità delle soluzioni di problemi lineari. Sebbene questo corso sia orientato allo studio di equazioni, è stato dedicato un capitolo al calcolo delle variazioni, mettendo in risalto come questa teoria possa essere di aiuto allo studio di problemi differenziali. Il problema di Leray-Lions ha dato origine ad un campo di ricerca assai vasto ed attualmente attivo. Nella seconda parte di queste note ne vengono illustrate tre direzioni: l'esistenza di soluzioni nel caso di una sorgente f a bassa sommabilità, l'unicità delle soluzioni e lo studio di un problema definito da un operatore ellittico con un termine a crescita lineare.