Cominciamo dal punto. Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della matematica

Questo libro, dedicato ai "perché" della geometria, viene ad affiancarsi al precedente volume dello stesso Autore dedicato ai "perché" dell'aritmetica e dell'algebra: Cominciamo da Zero. Un confronto fra i due libri evidenzia, già ad un esame superficiale, molte analogie (a partire dal titolo) ma anche talune differenze. Le analogie consistono negli obiettivi di fondo, esplicitati nella prefazione al precedente volume. Quanto alle differenze, si segnalano le due più appariscenti: 1) una scelta più eclettica degli argomenti e dei punti di vista dai quali sono stati analizzati. 2) una maggiore lunghezza di taluni paragrafi. L'ecletticità deriva dalla natura stessa della geometria, anzi dal fatto che esistono molteplici "geometrie" variamente interconnesse tra loro. La maggiore lunghezza di certi paragrafi deriva dall'attenzione che è stata dedicata ai "cosa" e ai "come" rispetto ai soli "perché", in base alla constatazione che nel corso degli ultimi cinquant'anni l'insegnamento della geometria è stato sottoposto, assai più di quello dell'aritmetica e dell'algebra, a spinte innovative (nazionali e internazionali). I richiami contenutistici e metodologici mirano quindi ad aiutare quei lettori che non avessero un'adeguata conoscenza degli argomenti di cui si parla in un determinato paragrafo, a colmare eventuali lacune di base, per essere poi in grado di riflettere con cognizione di causa e senso critico sui "perché" relativi a tali argomenti. Questo libro, dedicato ai "perché" della geometria, viene ad affiancarsi, a distanza di tre anni, al precedente volume dello stesso Autore dedicato ai "perché" dell'aritmetica e dell'algebra: Cominciamo da Zero. Un confronto fra i due libri evidenzia, già ad un esame superficiale, molte analogie (a partire dal titolo) ma anche talune differenze. Le analogie consistono negli obiettivi di fondo, esplicitati nella prefazione al precedente volume. Quanto alle differenze, si segnalano le due più appariscenti: 1) una scelta più eclettica degli argomenti e dei punti di vista dai quali sono stati analizzati. 2) una maggiore lunghezza di taluni paragrafi. L'ecletticità deriva dalla natura stessa della geometria, anzi dal fatto che esistono molteplici "geometrie" variamente interconnesse tra loro. La maggiore lunghezza di certi paragrafi deriva dall'attenzione che è stata dedicata ai "cosa" e ai "come" rispetto ai soli "perché", in base alla constatazione che nel corso degli ultimi cinquant'anni l'insegnamento della geometria è stato sottoposto, assai più di quello dell'aritmetica e dell'algebra, a spinte innovative (nazionali e internazionali) in direzioni diverse e spesso mal coordinate tra loro, il che ha finito col disorientare docenti, responsabili della preparazione dei nuovi docenti, estensori dei programmi ministeriali, autori dei libri di testo. I richiami contenutistici e metodologici mirano quindi ad aiutare quei lettori che non avessero un'adeguata conoscenza degli argomenti di cui si parla in un determinato paragrafo, a colmare eventuali lacune di base, per essere poi in grado di riflettere con cognizione di causa e senso critico sui "perché" relativi a tali argomenti.

VINICIO VILLANI è stato allievo della Scuola Normale Superiore di Pisa dal 1953 al 1957. Si è laureato in Matematica nel 1957 all'Università di Pisa. Dal 1966 ha ricoperto la cattedra di Geometria nelle Università di Genova e di Pisa, dove successivamente è passato alla cattedra di Didattica della Matematica. Ha trascorso periodi di studio in Germania e negli USA. E' stato Presidente della Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica dal 1974 al 1979 e Presidente dell'Unione Matematica Italiana dal 1982 al 1988, nonché coordinatore del Comitato per l'Educazione Matematica della Società Matematica Europea dal 1996 al 2001. E' stato responsabile dell'ICMI Study "Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century''. Ha fatto parte delle Commissioni Ministeriali per i programmi delle Scuole Elementari (1985), Medie (1979) e Superiori (Commissione Brocca, 1991-92). Ha diretto per un triennio la Scuola di Specializzazione per Insegnanti Secondari della Toscana, dove tiene tuttora corsi di Didattica della Matematica. E' autore o curatore di oltre cento pubblicazioni, tra libri, articoli e rapporti scientifici.

- Gli enti fondamentali della geometria sono il punto, la retta, il piano. Perché i matematici non ne precisano il significato mediante opportune definizioni?
- Perché all'inizio delle scuole elementari, medie e superiori l'insegnamento-apprendimento della geometria ricomincia ben tre volte daccapo? E perché nelle scuole superiori si attribuisce alle dimostrazioni un ruolo tanto importante, pur nella consapevolezza che - salvo eccezioni - saranno rapidamente dimenticate?
- Anche nei trattati più rigorosi di geometria si possono leggere frasi del tipo "Come si vede dalla figura ...". perché in alcuni casi questo riferimento all'evidenza visiva viene considerato lecito e in altri no?
- Perché negli Elementi di Euclide, come pure nei testi scolastici dei nostri giorni che seguono l'impostazione euclidea, il teorema dell'angolo esterno viene enunciato e dimostrato dapprima in una versione "debole" e solo in un secondo momento in una versione "forte"?
- Perché negli Elementi di Euclide, come pure nei testi scolastici dei nostri giorni che seguono l'impostazione euclidea, la dimostrazione della disuguaglianza triangolare è tanto macchinosa?
- Quanto al postulato delle parallele, Euclide aveva ragione o torto?
- Viviamo nello spazio tridimensionale. Perché l'insegnamento della geometria privilegia la sola geometria del piano? Sono possibili approcci alternativi? - Perché solo oltre venti secoli dopo Euclide, improvvisamente nel Novecento tanti matematici hanno sentito l'esigenza di elaborare per la geometria del piano e dello spazio impostazioni assiomatiche equivalenti a quella euclidea, ma basate su altre scelte degli enti primitivi e degli assiomi?
- Come si definisce la lunghezza di un segmento? E la lunghezza di una curva del piano o dello spazio?
- Come si definisce l'area di una superficie piana? E l'area di una superficie curva dello spazio?
- Come si definisce il volume di un solido dello spazio? E perché le dimostrazioni della formula del volume della piramide sono tanto complicate?
- Cosa si intende per angolo? E perché questa nozione presenta tante difficoltà?
- Quali sono i pregi di una trattazione della geometria per via analitica? E quali gli inconvenienti?
- E' possibile dimostrare il teorema di Pitagora per via analitica?
- E' possibile dimostrare il teorema di Talete per via analitica?
- La formula di Erone consente di calcolare l'area di un triangolo in funzione delle lunghezze dei suoi tre lati. Esiste una formula analoga per calcolare l'area di un quadrilatero in funzione delle lunghezze dei suoi quattro lati? E una formula per calcolare il volume di un tetraedro in funzione delle lunghezze dei suoi sei spigoli?
- Duplicazione del cubo, trisezione dell'angolo, rettificazione della circonferenza. Perché vengono detti "problemi insolubili"?
- Le trasformazioni geometriche. Cosa sono? A che servono? E qual è la loro collocazione nell'ambito dell'insegnamento pre-universitario della geometria?
- Ha senso considerare trasformazioni geometriche fra spazio e piano? E fra due piani distinti?
- Lo studio dei poligoni, e in particolare dei poligoni regolari, offre a tutti i livelli scolastici una serie di spunti che ben si prestano a promuovere un coinvolgimento attivo degli allievi. Perché, specie nelle scuole secondarie superiori, tali spunti non vengono adeguatamente valorizzati?
- Lo studio dei poliedri, e in particolare dei poliedri regolari, offre a tutti i livelli scolastici una serie di spunti che ben si prestano a promuovere un coinvolgimento attivo degli allievi. Perché, specie nelle scuole secondarie superiori, tali spunti non vengono adeguatamente valorizzati?
- La geometria sferica può essere vista come un esempio di geometria non euclidea?