Análisis funcional

Fuente: Wikipedia. Páginas: 37. Capítulos: Espacio de Hilbert, Espectro de un operador, Teoría de distribuciones, Convolución, Radio espectral, Espacio de Banach, Teoría de la medida, Espacio de Fréchet, Espacio de Baire, Densidad espectral, Deconvolución, Ecuación integral, Espacio prehilbertiano, Medida espectral, Espacio localmente convexo, Teorema de representación de Riesz, Operador unitario, Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, Traza parcial, Espacio de Sóbolev, Espacios Lp, Espacio completo, Base ortonormal, Derivada funcional, Teorema de Hahn-Banach, Espacio separable, Teorema del punto fijo de Kakutani, Operador lineal acotado, Teoría cuántica de campos constructiva, Operador adjunto, Operador de proyección, Prueba M de Weierstrass, Teorema de la función abierta, Teorema del punto fijo de Brouwer, Función base, Funciones ortogonales, Métrica infinito para funciones contínuas, Identidad de Parseval, Teorema de la gráfica cerrada, Espacio vectorial topológico, No acotado, Elemento positivo, Funcional lineal positiva, Estado. Extracto: En matemáticas, el concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión dos y tres se extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita. Ejemplos de tales nociones y técnicas son la de ángulo entre vectores, ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyección ortogonal, distancia entre vectores y convergencia de una sucesión. El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático David Hilbert quien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales. Más formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interior. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto de series de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la transformación de Fourier, y son de importancia crucial en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudia dentro del análisis funcional. Como se explica en el artículo dedicado a los espacios de producto interior, cada producto interior en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo, da lugar a una norma ||.|| que se define como sigue: Decimos que H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que la norma de las diferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de Banach (pero no viceversa). Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (tales como el espacio euclídeo con el producto escalar ordinario) son espacios de Hilbert. Esto permite que podamos extrapolar nociones desde los espacios de dimensión finita a los espacios de Hilbert de dime