Note di analisi matematica. Funzioni di più variabili

Questo volume raccoglie gli argomenti usualmente trattati nel secondo corso di Analisi Matematica ed è diviso in 25 capitoli; sono inclusi 3 capitoli di richiami su argomenti che lo studente dovrebbe già conoscere. Dopo un approccio ai limiti di successioni e alle serie, si introduce la nozione di spazio metrico e in questo ambito si discute la struttura topologica, con particolare riferimento agli spazi Rn. Nella seconda parte, dopo un capitolo dedicato alla nozione di lunghezza di una curva, si introducono le nozioni e i teoremi fondamentali del calcolo differenziale e si introducono le nozioni di sottovarietà e di superficie immersa. Quindi si discute il teorema delle funzioni implicite e ad alcune classiche applicazioni del calcolo: il metodo del gradiente e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. La terza parte è dedicata al calcolo integrale moderno. Dopo una breve carrellata sulla teoria di Lebesgue, sono sviluppati i teoremi di passaggio al limite e numerosi esempi. Si introduce quindi la misura di Hausdorff e si enunciano le formule di area e coarea. L'ultima parte è dedicata al calcolo vettoriale. Si discutono i campi conservativi e irrotazionali, le formule di Gauss-Green e il teorema di Stokes nel piano e nello spazio. Il volume intende portare l'attenzione del lettore sulla comprensione delle idee e dei concetti e sullo studio delle sue prime applicazioni elementari. Questo volume raccoglie ad uso degli studenti gli argomenti usualmente trattati nel secondo corso di Analisi Matematica. Esso contiene in particolare gli argomenti discussi nel corso di Analisi Matematica II del corso di laurea triennale in Ingegneria delle Telecomunicazioni dell’Università di Firenze tenuto dal secondo autore nel biennio 2005-2006. Il testo è diviso in 25 capitoli, ciascuno corrispondente grosso modo a due ore di lezione. Sono inclusi 3 capitoli di richiami su argomenti che lo studente dovrebbe già conoscere. In un corso di 50 ore, è stato possibile esporre esaurientemente il 70 percento circa del testo. Ovviamente con una esposizione più descrittiva è possibile invece presentare l’intero materiale. Dopo un approccio ai limiti di successioni e alle serie, si introduce la nozione di spazio metrico e in questo ambito si discute la struttura topologica, con particolare riferimento agli spazi Rn. Nella seconda parte, dopo un capitolo dedicato alla nozione di lunghezza di una curva, si introducono le nozioni e i teoremi fondamentali del calcolo differenziale e si introducono le nozioni di sottovarietà e di superficie immersa. Quindi si discute il teorema delle funzioni implicite e ad alcune classiche applicazioni del calcolo: il metodo del gradiente e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. La terza parte è dedicata ad una panoramica del calcolo integrale moderno. Dopo una breve carrellata sulla teoria di Lebesgue, sono sviluppati i teoremi di passaggio al limite e numerosi esempi. Si introduce quindi la misura di Hausdorff e si enunciano le classiche formule di area e coarea. L‘ultima parte è dedicata al calcolo vettoriale. Si discutono i campi conservativi e irrotazionali, le formule di Gauss–Green e il teorema di Stokes nel piano e nello spazio. Il volume intende portare l’attenzione del lettore sulla comprensione delle idee e dei concetti e sullo studio delle sue prime applicazioni elementari; esso, invece, non ha lo scopo di sviluppare particolari capacità tecniche. I teoremi sono spesso presentati in ipotesi non ottimali e, per quanto possibile, estensioni e generalizzazioni sono state evitate. Non sono incluse le dimostrazioni inerenti la teoria dell‘integrazione. Ovviamente, si assume che il lettore conosca il calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile.- Richiami: successioni reali e loro limiti
- Serie numeriche, I
- Serie numeriche, II
- Topologia degli spazi metrici, I
- Funzioni continueù
- Topologia degli spazi metrici, II
- Curve
- Richiami: sistemi lineari e matrici
- Richiami: Rn come spazio euclideo
- Calcolo differenziale, I
- Calcolo differenziale, II
- I teoremi del calcolo differenziale, I
- I teoremi del calcolo differenziale, II
- Superfici e immersioni
- Funzioni implicite
- Qualche applicazione
- L’integrale di Lebesgue: un breve riassunto, I
- L’integrale di Lebesgue: un breve riassunto, II
- I teoremi di passaggio al limite
- Il calcolo degli integrali, I
- Il calcolo degli integrali, II
- Misura e area
- Campi conservativi e forme differenziali
- Forme chiuse e campi irrotazionali
- Le formule di Gauss–Green.