Il teorema di Kronecker-Weber nel caso cubico

Uno dei teoremi più belli della teoria algebrica dei numeri afferma che "ogni estensione abeliana dei numeri razionali è contenuta in un campo ciclotomico". Questo risultato fu congetturato da Kronecker nel 1886 sulla base di studi effettuati su particolari estensioni abeliane di campi di numeri quadratici immaginari ottenute dall'aggiunzione di speciali valori di funzioni automorfe derivanti da curve ellittiche. Già l'anno dopo Weber riuscì a provare tale congettura: si dava in questo modo impulso ad un nuovo campo di ricerche, la cosiddetta "teoria del corpo di classe". Le dimostrazioni più "classiche" del teorema di Kronecker-Weber usano argomentazioni di elevata complessità: l'intento di questa tesi è allora quello di presentare ciò mediante un approccio diverso, suggerito dal prof. Umberto Zannier, tentando di fornire, almeno per il caso di estensioni quadratiche e cubiche, una dimostrazione alternativa più semplice. Anche il caso generale potrebbe essere trattato seguendo questa strada, ma per le oggettive e inevitabili difficoltà ulteriori che ne deriverebbero non ce ne occuperemo. Prima di esaminare nei particolari il contenuto dei singoli capitoli, soffermiamoci ancora un po' a spiegare meglio il significato del teorema di Kronecker-Weber. Nel caso quadratico esso equivale ad affermare che "le radici quadrate dei numeri primi (e quindi poi anche di tutti gli altri interi) si possono esprimere mediante combinazioni lineari a coefficienti razionali di radici dell'unità. Ciò fu fatto per la prima volta da Gauss usando le sue somme quadratiche: si veda la proposizione 2. 11. Il caso cubico invece (e lo stesso vale per gli ordini maggiori) è totalmente diverso, in quanto non si tratta più di estrarre radici di numeri interi: infatti l'aggiunzione di una radice cubica non genera un'estensione abeliana di q. Nella prima parte del capitolo 1 (preliminare) vengono introdotti i caratteri, dapprima nel caso generale e poi in quello specifico, molto più ricco e interessante, riguardante i gruppi abeliani finiti. Seguono poi alcuni teoremi che fissano le proprietà principali, tra cui le relazioni di ortogonalità. Nella seconda parte invece si vuole dapprima determinare qual è e come si può ottenere il campo di spezzamento, su un campo base soddisfacente certe condizioni, di un polinomio della forma x^n− ¦è. Dopodiché si generalizza il procedimento al prodotto di più polinomi ottenendo in tal modo le estensioni di Kummer. Infine seguono alcuni esempi, il più importante dei quali è l'ultimo, che pone già le basi per la trattazione del caso cubico del teorema di Kronecker-Weber. Nel capitolo 2 si parla di residui quadratici relativi a un primo dispari fissato. Viene introdotto l'importante simbolo di Legendre e le relative proprietà e, subito dopo, la legge della reciprocità quadratica. Nel corso degli anni vari matematici hanno fornito un gran numero di dimostrazioni a questa legge: noi ne presentiamo qui due. La prima sfrutta la teoria dei campi di numeri quadratici e ciclotomici; all'inizio vengono descritte completamente tutte le estensioni di grado 2 su q, passando poi a studiare il comportamento degli ideali generati dai primi razionali nel corrispettivo anello degli interi algebrici. Il teorema 2. 5 illustra tutti i casi possibili. Un'analisi simile viene effettuata poi per i campi ciclotomici: si presti particolare attenzione soprattutto al teorema 2. 6 che praticamente risolve il caso quadratico del teorema di Kronecker-Weber. Riguardo la seconda dimostrazione della reciprocità quadratica, si tratta a parte il carattere quadratico del 2, dopodiché si introduce il concetto di somma di Gauss, limitandosi per il momento al caso di ordine 2. La proposizione 2. 11 calcola, a meno del segno, il valore di questa somma. L'argomento iniziale del capitolo 3 sono nuovamente i caratteri: viene applicata la teoria già vista in precedenza quando il campo sul quale sono definiti è fp; da ciò segue la denominazione di caratteri moltiplicativi. Il paragrafo seguente espone le somme di Gauss nel caso generale. Lo studio approfondito del terzo anello ciclotomico è alla base della possibilità di enunciare la legge della reciprocità cubica: si ricercano le sue unità, si stabilisce, con l'ausilio della teoria dei reticoli piani, che esso è un dominio a ideali principali, si studia il comportamento dei primi razionali. Con l'introduzione delle somme di Jacobi, applicate in particolare ai caratteri di ordine 3, si può poi definire il carattere residuo cubico e studiarne le relative proprietà.