Analisi matematica vol.1

Il presente volume è rivolto agli studenti dei Corsi di Laurea di Matematica, Fisica, Ingegneria e Informatica, anche se potrebbe essere sicuramente usato in tutti i corsi di laurea che richiedono lo studio del calcolo differenziale e del calcolo integrale, e contiene tutti gli argomenti che vengono solitamente trattati nei corsi di Analisi Matematica I. Ampio spazio è dato ad alcuni argomenti quali i numeri reali, la connessione fra la completezza secondo Dedekind e quella secondo Cauchy dell'insieme dei numeri reali, la possibilità di ottenere maggiorazioni dell'errore, lo studio delle successioni definite per ricorrenza, l'impiego del calcolo differenziale al fine di dimostrare identità o disuguaglianze, le funzioni convesse derivabili, l'integrazione su insiemi unione di intervalli a due a due disgiunti, le tecniche di integrazione indefinita, l'impossibilità di calcolare in maniera esplicita primitive elementari di certe funzioni, il problema dell'esistenza o della non esistenza di primitive, i metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. È inoltre presente una gran quantità di limiti notevoli e di integrali indefiniti immediati. Dove possibile viene fatto uso di una visualizzazione geometrica dei concetti introdotti, che li renda più intuitivi. Sono presenti esercizi sia a carattere teorico che a carattere più tecnico, poiché entrambi servono ad una migliore comprensione sia analitica che globale della materia. Il presente volume è rivolto, soprattutto, agli studenti dei Corsi di Laurea di Matematica, Fisica, Ingegneria e Informatica, anche se potrebbe essere sicuramente usato in tutti i corsi di laurea che richiedono lo studio del calcolo differenziale e del calcolo integrale, e contiene tutti gli argomenti che vengono solitamente trattati nei corsi di Analisi Matematica I. Il decimo ed ultimo capitolo, invece, descrive alcuni metodi risolutivi di certi tipi di equazioni differenziali ordinarie che comunemente sono parte dei corsi di Analisi Matematica II, ma che vengono qui inclusi perché spesso lo studente si trova a dover affrontare la ricerca delle soluzioni di certe equazioni differenziali prima ancora di averle studiate in Analisi Matematica, in modo da sapere come sia possibile determinare tali soluzioni, senza dover aspettare il corso di Analisi Matematica II. Ampio spazio è dato ad alcuni argomenti quali i numeri reali, la connessione fra la completezza secondo Dedekind e quella secondo Cauchy dell’insieme dei numeri reali, la possibilità di ottenere maggiorazioni dell’errore, lo studio delle successioni definite per ricorrenza, l’impiego del calcolo differenziale al fine di dimostrare identità o disuguaglianze, le funzioni convesse derivabili, l’integrazione su insiemi unione di intervalli a due a due disgiunti, le tecniche di integrazione indefinita, l’impossibilità di calcolare in maniera esplicita primitive elementari di certe funzioni, il problema dell’esistenza o della non esistenza di primitive, i metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. E’ inoltre presente una gran quantità di limiti notevoli e di integrali indefiniti immediati. Dove possibile viene fatto uso di una visualizzazione geometrica dei concetti introdotti, che li renda più intuitivi. Sono presenti esercizi sia a carattere teorico che a carattere più tecnico, poiché entrambi servono ad una migliore comprensione sia analitica che globale della materia. La gran parte delle dimostrazioni è standard, anche se alcune di esse sono non usuali. Molti esempi ed esercizi sono presi da materiale di varia origine (libri, compiti d’esame, appunti, pagine di internet). Hanno comunque una caratteristica comune: essi servono ad insegnare qualcosa di nuovo e non sono soltanto una semplice ripetizione di fatti o tecniche ben noti; altri sono originali e dovuti all’autore. Tutti gli argomenti considerati vengono affrontati rigorosamente ed in maniera approfondita, in modo che abbiano pari dignità. Le definizioni vengono illustrate con commenti ed esempi affinché siano chiare e di esse sono evidenziati i punti salienti. Molti dei risultati presentati vengono introdotti attraverso opportuni commenti che tentano di indirizzare il lettore attento sulla giusta via di pensiero, in modo tale che il successivo teorema e la sua dimostrazione non risultino inaspettati. Tali risultati vengono in seguito illustrati attraverso lo svolgimento di molti esempi ed esercizi, affinché emergano aspetti diversi delle questioni trattate. In quest’ottica per qualche risultato fondamentale (Teorema di Borel-Heine, Teorema di Bolzano-Weierstrass, Teorema di Esistenza degli Zeri, Teorema di Weieirstrass, Teorema di Cantor-Heine, ... ) viene fornita o suggerita più di una dimostrazione; si spera così di renderne più semplici la comprensione e la memorizzazione. Alcuni esempi vengono dapprima svolti attraverso l’uso della sola definizione e poi vengono ripresi più volte attraverso l’impiego dei teoremi e delle tecniche che via via vengono acquisiti, in modo da sottolineare le differenze, sia da un punto di vista puramente teorico che da un punto di vista più tecnico, fra una definizione ed una condizione necessaria e/o sufficiente perché un certo fatto accada o fra l’uso di una certa tecnica e quello di un’altra. In particolare, si è cercato di inserire un buon numero di esempi svolti e di esercizi che utilizzano nozioni, risultati e tecniche relativi a buona parte del materiale acquisito fin a quel momento, e numerosi esercizi di varia natura, per ognuno degli argomenti trattati, che aiutino il lettore a valutare la propria comprensione della materia e la padronanza acquisita.- I numeri reali
- I numeri complessi
- Successioni di numeri reali e complessi
- Serie numeriche in R e in C
- Il concetto di limite per le funzioni
- Funzioni continue
- Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
- Funzioni convesse di una variabile reale
- Integrazione indefinita
- Integrazione secondo Riemann: Integrazione in senso improprio
- Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali.